Question

（2012•東城區(qū)二模）已知拋物線C：x²=4y，M為直線l：y=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅱ）證明：以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過M切線方程為y=kx-1，與拋物線解析式聯(lián)立，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意得到根的判別式的值為0，求出k的值，代入確定出A與B的坐標(biāo)，設(shè)圓心P（0，a），由|PM|=|PB|，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)及半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，-1），由已知拋物線解析式變形得y=

x2

4

，求出導(dǎo)函數(shù)y′=

1

2

x，設(shè)出切點(diǎn)A與B坐標(biāo)分別為A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），表示出切線MA與切線MB的方程，再由切線MA與MB過M，將M坐標(biāo)分別代入得到兩個(gè)關(guān)系式，x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的兩實(shí)根，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，再表示出兩向量

MA

與

MB

，將表示出兩根之和與兩根之積代入計(jì)算

MA

•

MB

的值為0，即可得到以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程為x²+（y-1）²=4；    
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₀，-1），由已知得y=

x2

4

，y′=

1

2

x，
設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
∴k_MA=

x1

2

，k_MB=

x2

2

，
切線MA的方程為y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
切線MB的方程為y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
又因?yàn)榍芯�MA過點(diǎn)M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₁-

1

4

x₁²，①
又因?yàn)榍芯�MB也過點(diǎn)M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₂-

1

4

x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的兩實(shí)根，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因?yàn)?span id="sgjmhpz" class="MathJye">

MA

=（x₁-x₀，

x12

4

+1），

MB

=（x₂-x₀，

x22

4

+1），
所以

MA

•

MB

=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（

x12

4

+1）（

x22

4

+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
將x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得

MA

•

MB

=0，
則以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩點(diǎn)間的距離公式，以及圓的切線方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．