Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C₁的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)為F₂，
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過焦點(diǎn)F₂的直線l與拋物線C₂交于A，B兩點(diǎn)，問在橢圓C₁上且在直線l外是否存在一點(diǎn)M，使直線MA，MF₂，MB的斜率依次成等差數(shù)列，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（ I）由已知得：F₂（1，0），e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（ II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），設(shè)直線AB的方程為：x=ny+1，由

x=ny+1 y2=4x

，得y²-4ny-4=0，由此能求出橢圓上存在M（-2，0），M（2，0）M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合條件．

解答： 解：（ I）由已知得：F₂（1，0），
e=

c

a

=

1

2

，
解得c=1，a=2，
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（ II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
設(shè)直線AB的方程為：x=ny+1，
kMA+kMB=

y0-y1

x0-x1

+

y0-y2

x0-x2

=2kMF2=

2y0

x0-1

…（7分）
∴

(y0-y1)(x0-ny2-1)+(y0-y2)(x0-ny1-1)

(x0-ny1-1)(x0-ny2-1)

=

2y0

x0-1

，
∴- (y1+y2)(x0-1)2+ny0(y1+y2)(x0-1)+2ny1y2(x0-1)=2n2y0y1y2…（10分），
由

x=ny+1 y2=4x

，得y²-4ny-4=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4，…（11分）
∴n（x₀+1）（x₀-ny₀-1）=0，
∵直線AB不經(jīng)過F₂（1，0），∴x₀-ny₀-1≠0，∴n=0或x₀=-1…（13分）
當(dāng)n=0時(shí)，橢圓上存在兩點(diǎn)M（-2，0）或M（2，0）符合條件；
當(dāng)n≠0時(shí)，則當(dāng)x₀=-1時(shí)，橢圓上存在兩點(diǎn)M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合條件．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．