Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，寫出滿足條件的所有項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+，知a_n+1=（1+）a_n+，a_n+1=a_n+，所以-=，由累加法求出．由此能求出S_n．
（2）假設(shè)在數(shù)列{a_n}中，存在連續(xù)三項a_k-1，a_k，a_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數(shù)列，則a_k-1+a_k+1=2a_k，即[2（k-1）-]+[2（k+1）-]=2（2k-），由此能夠推導(dǎo)出在數(shù)列{a_n}中，有且僅有連續(xù)三項a₂，a₃，a₄成等差數(shù)列．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+，
∴a_n+1=（1+）a_n+，
a_n+1=a_n+，
n×a_n+1=（n+1）a_n+（n+1）×
∴-=，
=，
…
=．
等式兩邊相加，得：
+…+==1-，
∴．
∵S_n=2（1+2+3+…+n）-（++…+）
=n（n+1）-（++…+）．
設(shè)S=++…+，①
則=++…+，②
①-②，得=1+++…+-
=1+-
=2--，
∴S=4--．
∴S_n=n（n+1）-4+．
（2）假設(shè)在數(shù)列{a_n}中，存在連續(xù)三項a_k-1，a_k，a_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差數(shù)列，
則a_k-1+a_k+1=2a_k，即[2（k-1）-]+[2（k+1）-]=2（2k-），
即=0，∴k=3．
∴在數(shù)列{a_n}中，有且僅有連續(xù)三項a₂，a₃，a₄成等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查等差數(shù)列的證明．綜合性強(qiáng)，難度大，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化