Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）若對?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=時，f（x）=x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=7x²+6x-1=（7x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=-1，
且當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，）時，f′（x）＜0，
所以當(dāng)x=-1時，f（x）有極大值，且f（-1）=．
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
當(dāng)a≥0時，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
當(dāng)a＜0時，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，解得．
分析：（Ⅰ）把a=代入函數(shù)解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把求出的導(dǎo)函數(shù)代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數(shù)，討論a，即可得到實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)數(shù)，合理分類是關(guān)鍵．