Question

函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]，求該函數(shù)的最大值和最小值以及取得最值時(shí)的x的值．

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及配方化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合x(chóng)的范圍，通過(guò)二次函數(shù)的值域，求解三角函數(shù)的最值以及x的值．

解答：解：函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]，
所以f（x）=2cos²x+2sinx+1=-2sin²x+2sinx+3=-2（sinx-

1

2

）²+

7

2

，
設(shè)t=sinx，因?yàn)?span id="vezf4ty" class="MathJye">x∈[-

π

3

，

5π

6

]∴t∈[-

3

2

，1]，
∴當(dāng)t

1

2

時(shí)，f（x）max=

7

2

，此時(shí)x=

π

6

或x=

5π

6

，
當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，f（x）min=

3

2

-

3

，此時(shí)x=-

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．