Question

求經(jīng)過點(diǎn)P（3，1）且與圓x²+y²=9相切的直線方程．

Answer 1

分析：解法一：將點(diǎn)P（3，1）代入圓的方程得3²+1²=10＞9，所以點(diǎn)P在圓外，可設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線斜率為k，寫出點(diǎn)斜式方程再化為一般式．根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑這一性質(zhì)，由點(diǎn)到直線的距離公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所設(shè)切線方程即可．
解法二：直線與圓相切，就是直線與圓有唯一公共點(diǎn)，于是將兩曲線方程聯(lián)立所得的方程組有唯一解，從而方程判別式△=0，由此解得k值，然后回代所設(shè)切線方程即可．

解答：解：解法一：當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí)，設(shè)所求切線的斜率為k，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
∴

|-3k+1|

k2+1

=3，解得k=-

4

3

．
故所求切線方程為-

4

3

x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．
當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率不存在時(shí)，方程為x=3，也滿足條件．
故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．
解法二：設(shè)切線方程為y-1=k（x-3），與圓的方程聯(lián)立，消去y并整理得（k²+1）x²-2k（3k-1）x+9k²-6k-8=0．
因?yàn)橹本�與圓相切，所以△=0，即[-2k（3k-1）]²-4（k²+1）（9k²-6k-8）=0．
解得k=-

4

3

，
所以切線方程為4x+3y-15=0．
又過點(diǎn)P（3，1）與x軸垂直的直線x=3也與圓相切，故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線方程．若點(diǎn)在圓外，所求切線有兩條，特別注意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)的情況，不要漏解．