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(2013•涼山州二模)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,BC=2BB1,D為BC中點.
(1)證明:A1B∥平面C1AD;
(2)證明:平面B1AD⊥平面ClAD.
分析:(1)連結A1C,交AC1于點E.矩形AA1C1C中,可得E為A1C中點,從而得到DE為△A1BC的中位線,可得DE∥A1B.利用線面平行判定定理,即可證出A1B∥平面C1AD;
(2)等腰△ABC中利用“三線合一”證出AD⊥BC,再根據直棱柱的性質利用線面垂直的判定與性質,證出AD⊥B1B從而得到AD⊥平面BB1C1C,得AD⊥DB1,所以∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角.最后根據矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D為BC中點,證出△B1C1D是以B1C1為斜邊的等腰直角三角形,得B1D⊥C1D,得二面角B1-AD-C1是直二面角,結合面面垂直的定義可得平面B1AD⊥平面ClAD.
解答:解:(1)連結A1C,交AC1于點E
∵四邊形AA1C1C是矩形,∴E為A1C中點
∵D為BC中點,∴DE為△A1BC的中位線,可得DE∥A1B
∵DE?平面C1AD,A1B?平面C1AD,
∴A1B∥平面C1AD;
(2)∵AB=AC,D為BC中點,∴AD⊥BC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,
∴結合AD?平面ABC,得AD⊥B1B
∵BC、B1B是平面BB1C1C內的相交直線,∴AD⊥平面BB1C1C
因此,AD⊥DB1,可得∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角
∵矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D為BC中點
∴設B1B=1,可得B1D=DC1=
2

結合B1C1=BC=2得△B1C1D是以B1C1為斜邊的等腰直角三角形,可得B1D⊥C1D
因此,二面角B1-AD-C1是直二面角,可得平面B1AD⊥平面ClAD.
點評:本題在底面為等腰三角形的直三棱柱中求證線面平行,并證明面面垂直.著重考查了直三棱柱的性質、線面平行的判定定理和線面垂直、面面垂直的判定與性質等知識,屬于中檔題.
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