Question

15．對(duì)于數(shù)列{x_n}，若對(duì)任意n∈N⁺，都有$\frac{{x}_{n}+{x}_{n+2}}{2}＜{x}_{n+1}$成立，則稱數(shù)列{x_n}為“減差數(shù)列”．設(shè)b${\;}_{n}=2t-\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n-1}}$，若數(shù)列b${\;}_{5}，_{6}，_{7}，…，_{n}（n≥5，n∈{N}^{+}）$是“減差數(shù)列”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 數(shù)列b₅，b₆，b₇，…是“減差數(shù)列”，可得n≥5時(shí)，得$\frac{_{n}+_{n+2}}{2}$＜b_n+1，代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：數(shù)列b₅，b₆，b₇，…是“減差數(shù)列”，得$\frac{_{n}+_{n+2}}{2}$＜b_n+1，n≥5，
即t-$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+t-$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＜2t-$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
即$\frac{t{n}^{2}-n}{{2}^{n}}$+$\frac{t（n+2）^{2}-（n+2）}{{2}^{n+2}}$＞$\frac{t（n+1）^{2}-（n+1）}{{2}^{n}}$，
化簡(jiǎn)得t（n²-4n）＞n-2，
當(dāng)n≥5時(shí)，若t（n²-4n）＞n-2恒成立，則t＞$\frac{n-2}{{n}^{2}-4n}$=$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$恒成立，
又當(dāng)n≥5時(shí)，$\frac{1}{（n-2）-\frac{4}{n-2}}$的最大值為$\frac{3}{5}$，
則t的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{3}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“減差數(shù)列”、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．