Question

已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）最大值為0，最小值。（2）。

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，…………2分

則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，……………

又，則，        ………………5分

。                           …………………6分

（2），則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

又，則函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032510232393751280/SYS201303251024177343951246_DA.files/image014.png">�！�……………8分

則轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根。…………9分

而。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意。…………………10分

當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

不符合題意。                                         ………………………11分

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，而當(dāng)趨于零時(shí)，趨于正無(wú)窮，且最小值為。

要使在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，則。 ………12分

又，且，故只要，得。

而，從而有。          ……14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：在高考中，重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題。多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。