Question

19．設(shè)D為不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-y≤0\\ x+3y≤3\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，對(duì)于區(qū)域D內(nèi)除原點(diǎn)外的任一點(diǎn)A（x，y），則2x+y的最大值是$\frac{9}{4}$，$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[-$\sqrt{2}$，0]．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．判斷$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的符號(hào)，利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，結(jié)合可行域求出范圍即可．

解答 解：先根據(jù)約束條件不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥0\\ x-y≤0\\ x+3y≤3\end{array}\right.$畫(huà)出可行域：
當(dāng)直線2x+y=t過(guò)點(diǎn)A時(shí)，2x+y取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y=3}\end{array}\right.$，可得A（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）時(shí)，
z最大是2×$\frac{3}{4}$$+\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
由約束條件x-y≤0，可知$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$≤0，令z=$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$，可得z²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，由可行域可得$\frac{y}{x}$∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．求解$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最小值，就是解z²的最大值，
即1-$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$的最大值，可知$\frac{y}{x}$∈（-∞，-1]，顯然$\frac{y}{x}$=-1時(shí)，z²取得最大值2．
所以z$≥-\sqrt{2}$，
$\frac{x-y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[-$\sqrt{2}$，0）．
故答案為：$\frac{9}{4}$．[-$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．