Question

設函數(shù)，m（x）=2lnx．．
（1）當p≥1時，證明：對任意x∈（1，+∞），f（x）＞m（x）恒成立；
（2）設g（x）=，若對任意x₁，x₂∈[1，e]，f（x₁）-m（x₁）＜g（x₂）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令G（x）=px-，令h（x）=px²-2x+p，當p≥1時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，由此能夠證明f（x）＞m（x）．
（2）由在[1，e]上是減函數(shù)，知g（x）∈[2，2e]．當P=0時，h（x）=-2x，G（x）在（0，+∞）內是單調遞減函數(shù)；當P＜0時，h（x）=px²-2x+p，G（x）_max=G（1）=0＜2；當0＜p＜1時，；當p≥1時，．所以G（x）在[1，e]上為單調遞增函數(shù)，由此能求出p的取值范圍．
解答：（1）證明：令G（x）=f（x）-m（x）=px-，
∴，
即，
令h（x）=px²-2x+p，
當p≥1時，h（x）=px²-2x+p，
其圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸為
∴h（x）＞h（1）=2p-2＞0，
∴G'（x）在（1，+∞）內為單調遞增函數(shù)，
G（x）＞G（1）=0，
即f（x）＞m（x）．
（2）解：∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]．
①當P=0時，h（x）=-2x，
因為x＞0，所以h（x）＜0，，
∴G（x）在（0，+∞）內是單調遞減函數(shù)；
②當P＜0時，h（x）=px²-2x+p，
其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=，
在（0，+∞），h（x）≤0恒成立，
所以，當p≤0時，G（x）在[1，e]上遞減，
G（x）_max=G（1）=0＜2
③當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，
得，
又當p=1時，G（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴
④當p≥1時，h（x）=px²-2x+p，
其圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸為，
∴，
∴G（x）在[1，e]上為單調遞增函數(shù)，
又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故只需G（x）_max＜g（x）_min，x∈[1，e]，
而，g（x）_min=2，
即 p（e-）-2lne＜2，
解得1≤，
綜上，p的取值范圍是．
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值及其應用，對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．