Question

已知函數(shù)f(x)=

1-k+lnx

x

，k∈R．
（I）求f（x）的極值；
（II）若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[1，2]使lnx1＞x1

x

2 2

-ax1x2成立，求a的取值范圍；
（III）已知x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，求證：(x1+x2)x1x2＞(x1x2)x1+x2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（II）分離參數(shù)可得a＞x2-

lnx1

x1x2

，再分類討論，求出右邊的最小值，即可求得a的取值范圍；
（III）只需要證明x₁+x₂＞x₁x₂，即可證得(x1+x2)x1x2＞(x1x2)x1+x2

解答：（Ⅰ）解：∵f(x)=

1-k+lnx

x

，k∈R，
∴f′（x）=

k-lnx

x2

，
令f′（x）=0，即k-lnx=0，∴x=e^k，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜e^k；令f′（x）＜0，可得x＞e^k；
∴函數(shù)在（0，e^k）上單調(diào)增，在（e^k，+∞）上單調(diào)減
∴函數(shù)f（x）在x=e^k處取得極大值為f（e^k）=e^-k．
（II）解：∵lnx1＞x1

x

2 2

-ax1x2
∴a＞x2-

lnx1

x1x2

若

lnx1

x1

＞0，即x₁∈（1，+∞）時，y=x -

lnx1

x1x

在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴?x₂∈[1，2]使lnx1＞x1

x

2 2

-ax1x2成立，等價于?x₁∈（1，+∞），使得a＞1 -

lnx1

x1

，∴a＞1；
若

lnx1

x1

≤0，即x₁∈（0，1]時，，y=x -

lnx1

x1x

在x=

- lnx1 x1

時，取得最小值為2

- lnx1 x1

∴?x₂∈[1，2]使lnx1＞x1

x

2 2

-ax1x2成立，等價于?x₁∈（0，1]，使得a＞ 2

- lnx1 x1

，∴a＞0；
綜上知，a＞0
（III）證明：∵x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，
∴（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）=2+

x2

x1

+

x1

x2

≥2+2=4＞0，

1

x1+x2

＞

1

e

＞0
兩式相乘

1

x1

+

1

x2

＞

4

e

＞1，化簡得x₁+x₂＞x₁x₂，
∴(x1+x2)x1x2＞(x1x2)x1+x2

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查存在性問題，考查不等式的證明，難度較大．