Question

（2011•惠州模擬）已知點P是圓F1：(x+1)2+y2=8上任意一點，點F₂與點F₁關于原點對稱．線段PF₂的中垂線m分別與PF₁、PF₂交于M、N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P，Q兩點，若

OP

•

OQ

=0（O為坐標原點），試求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意判斷點M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，進而可求點M的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+n，代入橢圓方程，利用△＞0及韋達定理，

OP

•

OQ

=0，即可求得直線l在y軸上截距的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），圓F₁的半徑為2

2

，且|MF₂|=|MP|…（1分）
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=2

2

＞|F1F2|…
（3分）
∴點M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，…（5分）
其中長軸2a=2

2

，得到a=

2

，焦距2c=2，∴短半軸b=1
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1…
（6分）
（2）設直線l的方程為y=kx+n，由

y=kx+n x2 2 +y2=1

，消元可得（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0
則△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①…（8分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-4kn

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

由

OP

•

OQ

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0…（10分）
整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0…
（12分）
即

(k2+1)(2n2-2)

2k2+1

+kn•(

-4kn

2k2+1

)+n2=0
化簡可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

，
故直線l在y軸上截距的取值范圍是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．    …（14分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是利用橢圓的定義，聯(lián)立直線與橢圓方程，屬于中檔題．