Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在[]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞…恒成立．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=+lnx
∴f′（x）=（a＞0）
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴f′（x）=≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥對x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）當(dāng)a=1時，f′（x）=，
∴當(dāng)x∈[，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[，2]上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
又f（ ）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（ ）-f（2）=-2ln2=
∵e³＞16
∴f（ ）-f（2）＞0，即f（ ）＞f（2）
∴f（x）在區(qū)間[，2]上的最大值f（x）max=f（ ）=1-ln2．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當(dāng)a=1時，f（x）=+lnx，f′（x）=，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)n＞1時，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（ ）=+ln =-+ln ＞0，即ln ＞
∴l(xiāng)n ＞，ln ＞，ln ＞，…，ln ＞
∴l(xiāng)n +ln +ln +…+ln ＞+++…+
∴l(xiāng)nn＞+++…+
即對大于1的任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nn＞+++…+．
分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍．
（2）將a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，判斷其單調(diào)性進(jìn)而得到最大值和最小值．
（3）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令x=代入函數(shù)f（x）根據(jù)單調(diào)性得到不等式ln＞，令n=1，2，…代入可證．
點評：此題是個中檔題．本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，很好的考查了學(xué)生的計算能力．