Question

已知h（x）=lnx，g（x）=|h（x）|，
（1）寫出g（x）的定義域，并作出y=g（x）的簡圖；
（2）若g（x₁）=g（x₂）（其中0＜x₁＜x₂），求證：x₁•x₂=1，x₁+x₂＞2；
（3）判斷f（x）=x-

h(x)

x

是否存在極值？若存在，證明你的結(jié)論并求出所有極值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的定義域及其求法

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由函數(shù)的表達式直接寫出即可，
（2）由圖知0＜x₁＜1＜x₂，由|lnx₁|=|lnx₂|⇒-lnx₁=lnx₂，x1+x2=x1+

1

x1

＞2

x1• 1 x1

即x1+x2＞2，從而問題得證；
（3）由題意求出函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，從而求出函數(shù)f（x）有1個極小值，求出即可．

解答： 解：（1）g（x）的定義域為（0，+∞），圖象如圖示：
；

（2）由圖知0＜x₁＜1＜x₂，
∴l(xiāng)nx₁＜0，lnx₂＞0，
∴g（x₁）=g（x₂）
即|lnx₁|=|lnx₂|⇒-lnx₁=lnx₂
⇒lnx₁+lnx₂=0⇒x₁•x₂=1，
∴x1+x2=x1+

1

x1

＞2

x1• 1 x1

即x1+x2＞2；
（3）∵f（x）=x-

h(x)

x

，
∴f′（x）=

x2+lnx-1

x2

，
經(jīng)觀察得f′（x）=0，得x=1，
令g（x）=x²+lnx-1，則：g′（x）=2x+

1

x

，
當x＞0時，g′（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）遞增，
∴f′（x）=0有唯一的根x=1，
當x∈（0，1）時，f′（x）=

g(x)

x2

＜

g(1)

x2

=0，
∴f（x）在（0，1）遞減，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）=

g(x)

x2

＞

g(1)

x2

=0，
∴f（x）在（1，+∞）遞增，
∴x=1是f（x）的唯一極小值點，
極小值是f（1）=1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，等式及不等式的證明問題，本題屬于綜合題．