函數(shù)f(x)=
x
x+1
，數(shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=
2
an
+1，對(duì)任意正整數(shù)n，不等式
kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn
2+bn
≤0恒成立，求正數(shù)k的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由已知，an+1=
an
an+1
，變形
1
an+1
-
1
an
=1，構(gòu)造等差數(shù)列{
1
an
}，通過{
1
an
}的通項(xiàng)公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
，設(shè)cn=
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
考查cn的最小值，
由于cn無法化簡，考慮通過其增減性求最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=
x
x+1
，∴an+1=
an
an+1
，∴
1
an+1
-
1
an
=1
∴數(shù)列{
1
an
}是首項(xiàng)
1
a1
=1，公差d=1的等差數(shù)列，
1
an
=1+（n-1）=n
∴an=
1
n
．
（Ⅱ）由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3


設(shè)cn=
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3

則
cn+1
cn
=
2n+4
2n+3
•
2n+5
＞1，所以數(shù)列{cn}遞增，
∴cn的最小值為c1=
4
5
15
，
∴只需0＜k≤
4
5
15
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設(shè){cn}為首項(xiàng)是c1，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{cn}中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列{cn}中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c1=md”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
，g（x）與f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f(1)+g(
1
2
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
xx-1

（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的單調(diào)性．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•資陽一模）函數(shù)f(x)=
x
x
-1
的定義域?yàn)椋ā　。?/div>

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；
②函數(shù)f(x)=
xx-1
是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，，則f（x1）≠f（x2）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
其中的真命題是
②③④
②③④
．（寫出所有真命題的編號(hào)）

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