Question

（2011•朝陽區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時，都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的定義域，對參數(shù)a進行討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x=0時，f（x）=1≥0成立；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=e^x-ax≥0成立，分離參數(shù)可得a≤

ex

x

成立．只需要求右邊函數(shù)的最小值即可，構(gòu)建函數(shù)g(x)=

ex

x

，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值，由此可求參數(shù)a的范圍

解答：解：（Ⅰ） f（x）的定義域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a．…2分
（1）當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0成立，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；  …3分
（2）當(dāng)a＞0時，
令f'（x）＞0，得x＞lna，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞）．…4分
令f'（x）＜0，得x＜lna，則f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna）．…5分
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna）…6分
（Ⅱ）當(dāng)x=0時，f（x）=1≥0成立，a∈R．…7分
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=e^x-ax≥0成立，即x＞0 時，a≤

ex

x

成立．
設(shè)g(x)=

ex

x

，…9分
所以g′(x)=

xex-ex

x2

=

(x-1)ex

x2

．…10分
當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，1）上為減函數(shù)；    …11分
x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在x∈（1，+∞）上為增函數(shù)．…12分
則g（x）在x=1處取得最小值，g（1）=e．則a≤e．
綜上所述，x∈[0，+∞）時，f（x）≥0成立的a的范圍是（-∞，e]．…13分

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)大于0，確定單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，確定單調(diào)減區(qū)間，注意分離參數(shù)法在解決恒成立問題中的運用．