Question

（2013•和平區(qū)二模）在△ABC中，A=

π

4

，cosB=

5

5

．
（I）求cos C；
（II）設(shè)BC=

5

，求AC和AB．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)cosB=

5

5

，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinB=

1-cos2B

=

2 5

5

．由誘導(dǎo)公式得cosC=-cos（A+B），結(jié)合兩角和的余弦公式展開(kāi)，代入數(shù)據(jù)即可得到cos C的值；
（II）根據(jù)正弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出AC=

BC•sinB

sinA

=2

2

．然后利用余弦定理，算出AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC=9，即可得到AB=3．

解答：解：（I）∵cosB=

5

5

＞0，B∈（0，π）
∴B為銳角，且sinB=

1-cos2B

=

2 5

5

∵A+B=π-C，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

2

2

×

2 5

5

-

2

2

×

5

5

=

10

10

；
（II）根據(jù)正弦定理，得

AC

sinB

=

BC

sinA

∴AC=

BC•sinB

sinA

=

5 × 2 5 5

2 2

=2

2

由余弦定理，得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC=8+5-2×2

2

×

5

×

10

10

=9
∴AB=3（舍負(fù)）

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC的兩個(gè)角，求第三個(gè)角的余弦并在已知BC邊的情況下求另外兩條邊長(zhǎng)．著重考查了誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式和正余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．