Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+1，（a，b為常數(shù)）．若f(

1

2

)=0，且f（x）的最小值為0，
（1）若g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．
（2）若g(x)=

f(x)+k-1

x

，對任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，f(

1

2

)=0，f（x）的最小值為0，解得（x）=4x²-4x+1．所以g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4≥2

4x• k x

-4=4

k

-4，再由g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，能求出k的取值范圍．
（2）當(dāng)x₀∈[-2，2]時，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2時取最大值f（x₀）_max=25．故g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4＜25在[1，2]恒成立，等價于4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，由此能求出k的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f(

1

2

)=0，f（x）的最小值為0，
∴

a 4 + b 2 +1=0 4a-b2 4a =0

，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=

4x2-4x+1

x

=4x+

k

x

-4≥2

4x• k x

-4=4

k

-4，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=

k

x

，即x=

k

2

時，g（x）取最小值4

k

-4．
∵g(x)=

f(x)+k-1

x

在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴

k

2

≤1，或

k

2

≥2，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵g(x)=

f(x)+k-1

x

，對任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
當(dāng)x₀∈[-2，2]時，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2時取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴g(x)=

f(x)+k-1

x

=4x+

k

x

-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范圍是（-∞，25）．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理、二次函數(shù)的靈活運用．