Question

已知定圓C₁和兩定點(diǎn)M、N，圓心C₁不在MN的中垂線上，過(guò)MN作圓C₂與圓C₁交于P、Q兩點(diǎn)，求證：PQ必過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐標(biāo)系，得到圓C₁的方程和兩定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，C₂在MN的中垂線上，設(shè)出C₂的坐標(biāo)（0，k），
寫出圓C₂的方程，將兩圓的方程相減便得到公共弦PQ的方程，再利用直線系過(guò)定點(diǎn)得到定點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：證明：以MN所在的直線為x軸，以其中垂線為 y軸，
建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)M（-m，0）、N（m，0），C₂（0，k），
設(shè)定圓C₁ 的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r²，
圓C₂的方程為 x²+（y-k）²=k²+m²，
由題意知，a、b、r、m為定值，k為 參數(shù)．
將兩圓的方程相減得直線PQ的方程為-2ax+（2k-2b）y+a²+b²+m²-r²=0，
即2ky+（-2ax-2by+a²+b²+m²-r²）=0，
由，
得 ，
∴直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系以及直線和圓的位置關(guān)系，兩圓相交時(shí)，將兩圓的方程相減即得公共弦所在的直線方程，直線λ（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0經(jīng)過(guò)兩直線ax+by+c=0與 mx+ny+p=0的交點(diǎn)．