Question

已知拋物線(xiàn)L的方程為x²=2py（p＞0），直線(xiàn)y=x截拋物線(xiàn)L所得弦．
（1）求p的值；
（2）拋物線(xiàn)L上是否存在異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線(xiàn)L在點(diǎn)C處有相同的切線(xiàn)．若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出A與B的坐標(biāo)，再代入弦長(zhǎng)即可求p的值；
（2）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及圓的圓心N，利用A、B、C三點(diǎn)在圓上，得出圓心坐標(biāo)N和點(diǎn)C的坐標(biāo)之間的關(guān)系式；再利用拋物線(xiàn)L在點(diǎn)C處的切線(xiàn)與NC垂直，代入即可求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由解得A（0，0），B（2p，2p）
∴，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假設(shè)拋物線(xiàn)L上存在異于點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，使得經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓和拋物線(xiàn)L在點(diǎn)C處有相同的切線(xiàn)
令圓的圓心為N（a，b），
則由得
得⇒
∵拋物線(xiàn)L在點(diǎn)C處的切線(xiàn)斜率
又該切線(xiàn)與NC垂直，
∴
∴
∵t≠0，t≠4，
∴t=-2
故存在點(diǎn)C且坐標(biāo)為（-2，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)上兩點(diǎn)的斜率公式、直線(xiàn)與圓相切、垂徑定理、拋物線(xiàn)與圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．