Question

已知a，b，c，d是不全為零的實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d。方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根，且f（x）=0的實(shí)數(shù)根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的實(shí)數(shù)根都是f（x）=0的根。
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范圍；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)是的根，那么，
則是的根，
則即，
所以。
（2）因為
所以
則=0的根也是的根
（a）若，則
此時的根為0，而的根也是0，
所以；
（b）若，則時，的根為0，而的根也是0，
當(dāng)時，的根為0和，
而的根不可能為0和，
所以必?zé)o實(shí)數(shù)根，
所以
所以，
從而
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，。
（3），所以
即的根為0和1，
所以=0必?zé)o實(shí)數(shù)根，
（a）當(dāng)時，
即函數(shù)在，恒成立
又
所以
即
所以；
（b）當(dāng)時，
即函數(shù)在，恒成立
又
所以，，而
所以
所以c不可能小于0。
（c）則這時的根為一切實(shí)數(shù)，而，
所以符合要求。
所以。