Question

已知△ABC是復(fù)平面內(nèi)的三角形，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+3i和-i，且AC=BC，
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-5i|=1，探究復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡與頂點(diǎn)C的軌跡的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）易知A（1，3），B（0，-1），從而線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），根據(jù)直線AB的斜率可得線段AB中垂線斜率，由此可得點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）由|z-5i|=1可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡為以（0，5）為圓心，1為半徑的圓，利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系可得結(jié)論；

解答：解：（1）依題意，得A（1，3），B（0，-1），線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），直線AB的斜率為4，
所以線段AB中垂線的斜率為-

1

4

，
所以C的軌跡方程為y-1=-

1

4

（x-

1

2

），x≠

1

2

，即2x+8y-9=0（x≠

1

2

）；
（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z-5i|=1，
所以復(fù)數(shù)z的軌跡為以M（0，5）為圓心，以1為半徑的圓，
又M到直線2x+8y-9=0的距離為d=

|0+40-9|

4+64

=

31

68

＞1，
所以兩軌跡是相離的關(guān)系．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力．