如圖，已知拋物線x2＝4y與圓x2＋y2＝32相交于A、B兩點，圓與y軸正半軸交于C點，直線l是圓的切線，交拋物線于M、N，并且切點在上，

(1)求A、B、C點的坐標；

(2)當M、N兩點到拋物線焦點距離和最大時，求直線l的方程．

答案：
解析：

　　解：(1)由解得A(－4，4)，B(4，4)，

　　由解得C(0，)．

　　(2)設直線l：y＝kx＋b，且l與拋物線交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線x2＝4y的準線為y＝－1，焦點為F．

　　由拋物線定義知d＝|MF|＋|NF|＝y(tǒng)1＋y2＋2，

　　由得y2－2(b＋2k2)y＋b2＝0，

　　則y1＋y2＝2(b＋2k2)，

　　又∵l與圓相切于，

　　∴，即k2＝－1．

　　由圖形知l過C點時，b最小為，當l過A或B時，b最大為8，即≤b≤8，

　　∴d＝(b＋8)2－10．

　　∴當b＝8時，d取最大值，此時k＝±1．

　　∴所求直線l的方程為y＝x＋8或y＝－x＋8．


提示：

列方程組求解A、B、C的坐標，設出l的方程，利用拋物線定義轉(zhuǎn)化條件．由l的方程與拋物線方程組成方程組，找出k與b的關(guān)系，再利用二次函數(shù)求其最值．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•溫州一模）如圖，已知拋物線x2=4y，過拋物線上一點A（x1，y1）（不同于頂點）作拋物線的切線l，并交x軸于點C，在直線y=-1上任取一點H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：重慶市2008屆六校高中三年級第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學理科 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝2px(p＞0)和直線y＝b(b＜0)，點P(t，b)在直線y＝b上移動，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為M

(1)求點M的軌跡；

(2)求線段AB長的最小值；

(3)求證直線PM的傾斜角為定植，并求的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源：重慶市2008屆六校高中三年級第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學文科 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝2py(p＞0)和直線y＝b(b＜0)，點P(t，b)在直線y＝b上移動，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，線段AB的中點為M

(1)設A(x1，)，B(x2，)，分別用x1，x2表示切線PA，PB的斜率kPA，kPB；

(2)證明x1，x2為方程x2－2tx＋2pb＝0的兩根，并求線段AB長的最小值；

(3)求證直線PM的傾斜角為定植，并求PM長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省寧波市鄞州區(qū)2012屆高三5月高考適應性考試數(shù)學文科試題 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝4y，過拋物線上一點A(x1，y1)(不同于頂點)作拋物線的切線l，并交x軸于點C，在直線y＝－1上任取一點H，過H作HD垂直x軸于點D，并交l于點E，過H作直線HT垂直于直線l，并交x軸于點T．

(1)求證：|OC|＝|DT|；

(2)試判斷直線ET與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年浙江省溫州市高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線x2=4y，過拋物線上一點A（x1，y1）（不同于頂點）作拋物線的切線l，并交x軸于點C，在直線y=-1上任取一點H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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