Question

（本題滿分15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試判斷的單調(diào)性并給予證明;
（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（i） 求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（ii）證明：。 （注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）在R上單調(diào)遞減 （2）,對(duì)于函數(shù)中不等式的證明，一般要功過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)結(jié)合函數(shù)的最值來(lái)證明不等式的成立。

試題分析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減       …………1分
，只要證明恒成立，      …………………………2分
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，  ………………4分
，故恒成立
所以在R上單調(diào)遞減                          ……………………6分
（2）（i）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根，
故方程有兩個(gè)根，
又顯然不是該方程的根，所以方程有兩個(gè)根，    …………8分
設(shè)，得
若時(shí)，且，單調(diào)遞減
若時(shí)，
時(shí)，單調(diào)遞減
時(shí)，單調(diào)遞增            ……………………………10分
要使方程有兩個(gè)根，需，故且
故的取值范圍為              ……………………………………12分
法二：設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，
則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，方程不可能有兩個(gè)根
所以，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
，得
（ii） 由，得：，故，
，      ………………14分
設(shè)，則，上單調(diào)遞減
故，即  ………………………………15分
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和求解函數(shù)的極值和最值，這是導(dǎo)數(shù)作為工具性的一個(gè)重要的體現(xiàn)。同時(shí)對(duì)于含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的判定要學(xué)會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)求解單調(diào)增減區(qū)間，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的正負(fù)來(lái)判定極值，而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明。屬于難度題。