Question

已知函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求與，看兩值是否異號(hào)，然后證明在[0，1]上單調(diào)性，即可證明函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）由得：，令，則， . 令，則，，，

所以在上單調(diào)遞增，，對(duì)a進(jìn)行和討論得出結(jié)論．

試題解析：（1）， 1分

∵，，

∴， ∴在區(qū)間上存在零點(diǎn)． 3分

令 ，則，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增， 5分

∴在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)． 6分

（2）由得：，

令，則，

令，則，，，

所以在上單調(diào)遞增，. 9分

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，

所以在上單調(diào)遞增， . 11分

（2）當(dāng)時(shí)，存在使，即，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

，這與對(duì)恒成立矛盾.

綜合（1）、（2）得：. 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．