【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,⊥平面且.
(1)求證:平面⊥平面;
(2)若設(shè)與平面所成夾角為,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】
分析:(1)根據(jù)已知可得和,由線面垂直判定定理可證平面,再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.
(2)解法一:向量法,設(shè),以為原點(diǎn),作,以的方向分別為軸,軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,求得的坐標(biāo),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件,求得平面和平面的的法向量,再由向量的夾角公式,計(jì)算即可得到所求的值.
解法二:三垂線法,連接AC交BD于O,連接EO、FO,過(guò)點(diǎn)F做FM⊥EC于M,連OM,由已知可以證明FO⊥面AEC,∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角,通過(guò)菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO,得到答案.
解法三:射影面積法,連接AC交BD于O,連接EO、FO,根據(jù)已知條件計(jì)算,,二面角的余弦值cosθ=,即可求得答案.
詳解:(1)證明:連結(jié)
四邊形是菱形,,
⊥平面,平面,
,
,平面,
平面,
平面,平面⊥平面.
(2)解:解法一:設(shè) ,
四邊形是菱形,,
、為等邊三角形, ,
是的中點(diǎn), ,
⊥平面,,
在中有,,,
以為原點(diǎn),作,以的方向分別為軸,軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則
所以,,
設(shè)平面的法向量為,
由 得 設(shè),解得.
設(shè)平面的法向量為,
由 得 設(shè),解得.
設(shè)二面角的為,則
結(jié)合圖可知,二面角的余弦值為.
解法二:
∵EB⊥面ABCD,
∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中,cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
連接AC交BD于O,連接EO、FO
菱形ABCD中,∠BAD=60°,∴BD=AB=2
矩形BEFD中,FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O,AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC
又EC面AEC,∴FO⊥EC
過(guò)點(diǎn)F做FM⊥EC于M,連OM,
又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO面FMO,∴EC⊥面FMO
OM面FMO,∴EC⊥MO
∴∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角
AC⊥面BEFD, EO面BEFD,∴AC⊥EO
又O為AC的中點(diǎn),∴EC=AE=
Rt△OEC中,OC=, EC=,∴OE=,∴OM =
Rt△OFM中,OF=, OM =,∴FM =
∴cos∠FMO=
即二面角A-EC-F的余弦值為
解法三:
連接AC交BD于O,連接EO、FO
菱形ABCD中,∠BAD=60°,∴BD=AB=2
矩形BEFD中,FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O,AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC
又∵EB⊥面ABCD,
∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中,cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=
在△EFC中,FC=EC=,EF=2,∴
在△AEC中, AE=EC=,O為AC中點(diǎn),∴OE⊥OC
在Rt△OEC,OE=, OC=,∴
設(shè)△EFC、△OEC在EC邊上的高分別為h、m,
二面角A-EC-F的平面角設(shè)為θ,
則cosθ=
即二面角A-EC-F的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ) 已知直線不過(guò)點(diǎn)且與相交于,兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為1,證明:過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中向量,.
(1)求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在中,、、分別是角、、的對(duì)邊,已知,,的面積為,求外接圓半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為a,b的兩個(gè)黑球和編號(hào)為c,d,e的三個(gè)紅球,從中任意摸出兩個(gè)球.
(1)求恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的概率:
(2)求至少摸出1個(gè)黑球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某實(shí)驗(yàn)單次成功的概率為0.8,記事件A為“在實(shí)驗(yàn)條件相同的情況下,重復(fù)3次實(shí)驗(yàn),各次實(shí)驗(yàn)互不影響,則3次實(shí)驗(yàn)中至少成功2次”,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件4的概率:先由計(jì)算機(jī)給出0~9十個(gè)整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1表示單次實(shí)驗(yàn)失敗,2,3,4,5,6,7,8,9表示單次實(shí)驗(yàn)成功,以3個(gè)隨機(jī)數(shù)為組,代表3次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù),如下表:
752 | 029 | 714 | 985 | 034 |
437 | 863 | 694 | 141 | 469 |
037 | 623 | 804 | 601 | 366 |
959 | 742 | 761 | 428 | 261 |
根據(jù)以上方法及數(shù)據(jù),估計(jì)事件A的概率為( )
A.0.384B.0.65C.0.9D.0.904
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)>1.
(2)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)g(x)= (a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,是曲線上的一動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查家庭的月收入與月儲(chǔ)蓄的情況,某居民區(qū)的物業(yè)工作人員隨機(jī)抽取該小區(qū)20個(gè)家庭,獲得第個(gè)家庭的月收入(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,計(jì)算得:,,,,.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程;
(2)指出(1)中所求出方程的系數(shù),并判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為9千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊(duì)員,在校內(nèi)組織猜燈謎競(jìng)賽.規(guī)定:第一階段知識(shí)測(cè)試成績(jī)不小于160分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽.現(xiàn)有200名學(xué)生參加知識(shí)測(cè)試,并將所有測(cè)試成績(jī)繪制成如下所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)估算這200名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù),并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)將進(jìn)入第二階段的學(xué)生分成若干隊(duì)進(jìn)行比賽.現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)在比賽中均已獲得120分,進(jìn)入最后搶答階段.搶答規(guī)則:搶到的隊(duì)每次需猜3條謎語(yǔ),猜對(duì)1條得20分,猜錯(cuò)1條扣20分.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),甲隊(duì)猜對(duì)每條謎語(yǔ)的概率均為 ,乙隊(duì)猜對(duì)前兩條的概率均為 ,猜對(duì)第3條的概率為 .若這兩隊(duì)搶到答題的機(jī)會(huì)均等,您做為場(chǎng)外觀眾想支持這兩隊(duì)中的優(yōu)勝隊(duì),會(huì)把支持票投給哪隊(duì)?
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