Question

4．已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形ABC，PA與平面ABC所成角為60°，且PA=2，若點Q滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），則三棱錐Q-ABC的體積為$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 如圖所示，作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OA，則∠PAO是PA與平面ABC所成角，可得PO=APsin60°．V_P-ABC=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$．取BC的中點D，連接PD，AD，分別取PD的中點E，PG=$\frac{1}{4}PA$，由$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），可得$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PE}$．過G，E分別作GH∥PD，EF∥PA，分別交AD于H，F(xiàn)點，延長PQ交AD于點M．可得$\frac{MQ}{MP}=\frac{1}{4}$.$\frac{{V}_{Q-ABC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{MQ}{MP}$=$\frac{1}{4}$．即可得出．

解答 解：如圖所示，
作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OA，
則∠PAO是PA與平面ABC所成角，
∵PA與平面ABC所成角為60°，
∴∠PAO=60°．
∴PO=APsin60°=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$=$\frac{9}{4}$．
取BC的中點D，連接PD，AD，
分別取PD的中點E，PG=$\frac{1}{4}PA$，
∵滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PE}$．
過G，E分別作GH∥PD，EF∥PA，分別交AD于H，F(xiàn)點，延長PQ交AD于點M．
則$\frac{MQ}{MP}=\frac{QH}{PD}$，$\frac{QH}{ED}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MQ}{MP}=\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{V}_{Q-ABC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{MQ}{MP}$=$\frac{1}{4}$．
∴三棱錐Q-ABC的體積=$\frac{1}{4}×\frac{9}{4}$=$\frac{9}{16}$．
故答案為：$\frac{9}{16}$．

點評 本題查克拉線面垂直的判定定理、線面角、三棱錐的體積、向量的平行四邊形法則、平行線分線段成比例定理，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．