Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R，
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的φ（a），證明：當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：先分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，建立方程組，解之即可求出a和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出化簡(jiǎn)．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

1

2 x

，g'（x）=

a

x

(x＞0)
有已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得：a=

e

2

，x=e²
∴兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（e²，e）
切線的斜率為k=f'（e²）=

1

2e

∴切線的方程為y-e=

1

2e

（x-e²）
（Ⅱ）由條件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴當(dāng)0＜x＜4a²時(shí)，h′（x）＜0，
h（x）在（0，4a²）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞4a²時(shí)，h′（x）＞0，
h（x）在（4a²，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln（4a²）=2a[1-ln （2a）]．
②當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=2a[1-ln （2a）]（a＞0）．
（Ⅲ）證明：由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），
則φ′（a）=-2ln （2a）．
令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
∴φ（a）在a=

1

2

處取得極大值φ（

1

2

）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，總有φ（a）≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．