Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存直線l，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)M代入得到一個(gè)方程，根據(jù)離心率得到一個(gè)關(guān)系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)直線方程為y=k（x-2）+1，然后與橢圓方程聯(lián)立消去y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應(yīng)△大于0得到k的范圍，進(jìn)而可得到兩根之和、兩根之積的表達(dá)式，再表示出、、，再代入關(guān)系式可確定k的值，從而得解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，
由得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得．
又，，
且，即，
所以．即．
所以，解得．
所以．于是存在直線l滿足條件，其的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)題型，要著重復(fù)習(xí)．