Question

若n∈N^*，（a_n、b_n∈Z）．
（1）求a₅+b₅的值；
（2）求證：數(shù)列{b_n}各項均為奇數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=5，利用二項式定理展開，然后化簡整理可求出a₅與b₅的值，從而求出所求；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先奠基，然后假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時，然后證明當(dāng)n=k+1時也成立即可．
解答：解：（1）當(dāng)n=5時，
=[]+[]
=41+
故a₅=29，b₅=41所以a₅+b₅=70
（2）證明：由數(shù)學(xué)歸納法
（i）當(dāng)n=1時，易知b₁=1，為奇數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時，，其中b_k為奇數(shù)；
則當(dāng)n=k+1時，
=
∴b_k+1=b_k+2a_k，又a_k、b_k∈Z，所以2a_k是偶數(shù)，
由歸納假設(shè)知b_k是奇數(shù)，故b_k+1也是奇數(shù)
綜（i）（ii）可知數(shù)列{b_n}各項均為奇數(shù)．
點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題，屬于中檔題．