Question

1．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，f'（x）是f（x）的導函數，且總有f（x）＞xf'（x），則不等式f（x）＞xf（1）的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （0，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根據題意：x＞0時，f（x）＞xf'（x），列出不等式$\frac{f'（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，從而知$\frac{f（x）}{x}$ 在x＞0上單調遞減；

解答 解：由題意：x＞0時，f（x）＞xf'（x）
∴xf'（x）-f（x）＜0⇒$\frac{f'（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0⇒$（\frac{f（x）}{x}）^{′}＜0$
所以知：$\frac{f（x）}{x}$ 在x＞0上單調遞減；
∵f（x）＞xf（1）⇒$\frac{f（x）}{x}$＞$\frac{f（1）}{1}$ 
故x的取值范圍為：0＜x＜1
故選：B

點評 本題主要考查了導數運算公式，構造新函數判斷函數單調性以及函數圖形特征，屬中等題．