已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極值.
分析:(1)設(shè)出兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo),求出兩曲線方程的導(dǎo)函數(shù),由兩曲線在該點(diǎn)處的切線相同,所以把公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入兩曲線方程得到縱坐標(biāo)相同且分別代入到導(dǎo)函數(shù)中的函數(shù)值也相等,聯(lián)立消去公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到a與b的關(guān)系式,令b=h(t),自變量t=a,得到一個(gè)關(guān)于t的函數(shù),求出h(t)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值點(diǎn),把求得的極大值點(diǎn)代入h(t)中即可求出b的最大值;
(2)把f(x)和g(x)的解析式代入到F(x)=f(x)-g(x)中得到F(x)的解析式,求出F′(x),根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可知x大于0,由題意可知a大于0,所以分x大于a和x小于a大于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到a為函數(shù)的極小值點(diǎn),把x等于a代入到F(x)中即可求出極小值,且該函數(shù)無極大值點(diǎn).
解答:解:(1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同.
∵f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2
x
,由題意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0
1
2
x02+2ax0=3a2lnx0+b
x0+2a=
3a2
x0

由x0+2a=
3a2
x0
得:x02+2ax0-3a2=0,即(x-a)(x+3a)=0,解得x0=a或x0=-3a(舍去).
即有b=
1
2
a2+2a2-3a2lna=
5
2
a2-3a2lna,
令h(t)=
5
2
t2-3t2lnt(t>0),則h′(t)=5t-6tlnt-3t=2t(1-3lnt),于是
當(dāng)t(1-3lnt)>0,即0<t<e
1
3
時(shí),h′(t)>0;
當(dāng)t(1-3lnt)<0,即t>e
1
3
時(shí),h′(t)<0,
故h(t)在(0,e
1
3
)上為增函數(shù),在(e
1
3
,+∞)上為減函數(shù),
則h(t)在(0,+∞)的最大值為h(e
1
3
)=
5
2
(e
1
3
)
2
-3(e
1
3
)
2
lne
1
3
=
3
2
e
2
3
;
(2)F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x2+2 ax -3a2lnx-b(x>0)
,
則F′(x)=x+2α--
3a2
x
=
(x-a)(x+3a)
x
(x>0).
故F(x)在(0,α)為減函數(shù),在(α,+∞)為增函數(shù),
于是函數(shù)F(X)在x=a時(shí)有極小值F(α),F(xiàn)(X0)=f(x0)-g(x0)=0無極大值.
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),證明:若a≥
3
-1
,則對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2
h(x2)-h(x1)
x2-x1
>8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax
,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求證:f(x)≥g(x)(x>0).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足①若x>1,則f(x)<0;②f(
12
)
=1;③對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,y,都有:f(xy)=f(x)+f(y),則不等式f(x)+f(5-x)≥-2的解集為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0<x<1)
x+a   (x≥1)
,則實(shí)數(shù)a的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•河西區(qū)二模)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
3x22
+ax,g(x)=4a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線x=f(x)與f=g(x)有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同.
(I)若a=1,求兩曲線y=f(x)與y=g(x)在公共點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)用a表示b,并求b的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案