Question

下表是某市從3月份中隨機(jī)抽取的10天空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）和“PM2.5”（直徑小于等于2.5微米的顆粒物）24小時(shí)平均濃度的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良．

日期編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）	179	40	98	124	29	133	241	424	95	89
“PM2.5”24小時(shí)平均濃度（ug/m3）	135	5	80	94	80	100	190	387	70	66

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；
（2）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取兩個(gè)對(duì)其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，設(shè)事件M為“抽取的兩個(gè)日期中，當(dāng)天“PM2.5”的24小時(shí)平均濃度不超過75ug/m³”，求事件M發(fā)生的概率；
（3）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量優(yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取3天，記ξ為“PM2.5”24小時(shí)平均濃度不超過75ug/m³的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由表數(shù)據(jù)知，利用等可能事件概率的求法，即可估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率；
（2）確定由（1）知10天中表示空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為5，當(dāng)天“PM2.5”的24小時(shí)平均濃度不超過75ug/m³，有編號(hào)為A₂、A₉、A₁₀，共3天，利用等可能事件概率的求法，求事件M發(fā)生的概率；
（3）由（1）知，ξ的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由表數(shù)據(jù)知，10天中空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100的日期有：
A₂、A₃、A₅、A₉、A₁₀共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率P=

5

10

=

1

2

．------------------------------（3分）
（2）由（1）知10天中表示空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為5，當(dāng)天“PM2.5”的24小時(shí)平均濃度不超過75ug/m³，有編號(hào)為A₂、A₉、A₁₀，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M發(fā)生的概率P（M）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

．---------------------------------------------（6分）
（3）由（1）知，ξ的可能取值為1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

--------------------------------------------------------（8分）
P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

3

5

-----------------------------------------------------------（9分）
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，-----------------------------------------------------------（10分）
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	3 10	3 5	1 10

--------------------------------------------------------（11分）
ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

=

9

5

．-------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．