Question

若m，n是關(guān)于x的方程x²-2ax+a+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則（m-1）²+（n-1）²的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)根，利用根的判別式求出a的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m+n與mn的值，然后把所給的函數(shù)式整理成m+n與mn的形式，代入進(jìn)行，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算求解最值．
解答：解：依方程有兩個(gè)實(shí)根得到△=4a²-4（a+6）≥0，
即a²-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）²+（n-1）²=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-6a-10，
=4（a-）²-，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知a=3時(shí)，y的最小值為8．（12分）
故答案為：8
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的最值問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是利用根的判別式求出a的取值范圍，求解區(qū)間上二次函數(shù)的最值，本題是一個(gè)中檔題目．