Question

分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)為F₁（0，-1）、F₂（0，1）且過(guò)點(diǎn)M(

3

2

，1)橢圓；
（2）與雙曲線x2-

y2

2

=1有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)（2，2）的雙曲線．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2

a2

+

x2

b2

=1，然后根據(jù)題意，求出a、b滿足的2個(gè)關(guān)系式，解方程即可．
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為：x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）把點(diǎn)（2，2）代入方程可得λ，從而得到所求的雙曲線的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a²-b²=1①，
∵點(diǎn)(

3

2

，1)在橢圓E上，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1②，
由①、②得：a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）：由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為：x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）
把點(diǎn)（2，2）代入方程可得λ=2，
故所求的雙曲線的方程是x2-

y2

2

=2，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得

x2

2

-

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常規(guī)做法：待定系數(shù)法，熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出雙曲線的方程是x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．