Question

某商場預(yù)計(jì)，2010年1月份起前x個(gè)月顧客對某種商品的需求總量p（x）（單位：件）與x的關(guān)系近似地滿足p（x）=

1

2

x（x+1）（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．該商品第x月的進(jìn)貨單價(jià)q（x）（單位：元）與x的近似關(guān)系是q（x）=

150+2x (x∈N*，且1≤x≤6) 185- 160 x (x∈N*，且7≤x≤12)

．
（1）寫出今年第x月的需求量f（x）件與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場需求，試問商場2010年第幾月份銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的前x個(gè)月顧客對某種商品的需求總量p（x），可以寫出第x個(gè)月的對貨物的需求量，注意驗(yàn)證第一個(gè)月的需求量符合表示式．
（2）根據(jù)所給的表示式，寫出每一個(gè)月的利潤的表示式，是一個(gè)分段函數(shù)，求出分段函數(shù)的最大值，把兩個(gè)最大值進(jìn)行比較，得到利潤的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=p（1）=37，
當(dāng)2≤x≤12，且x∈N^*時(shí)，
f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（39-2x）-

1

2

（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．
驗(yàn)證x=1符合f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12）
（2）該商場預(yù)計(jì)第x月銷售該商品的月利潤為：
g（x）=6x³-185x²+1400x（x∈N，1≤x≤6）
g（x）=-480x+6400 （x∈N.7≤x≤12
當(dāng)1≤x≤6，x∈N時(shí)g′（x）=18x²-370x+1400，
令g′（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．
當(dāng)1≤x≤5時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)5＜x≤6時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
當(dāng)7≤x≤12，x∈N時(shí)，g（x）=-480x+6400是減函數(shù)，
當(dāng)x=7時(shí)，g（x）的最大值等于g（7）=3040（元），
綜上，商場2009年第5月份的月利潤最大，最大利潤為3125元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出分段函數(shù)，要分別求出兩段函數(shù)的最大值，進(jìn)行比較．