Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若f（

A

2

）=2，a=

3

，b=1，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=2sin（A+

π

6

）=2，可得A=

π

3

，利用正弦定理可求得B=

π

6

，C=

π

2

，從而可判斷△ABC為直角三角形．

解答： 解：﹙Ⅰ﹚f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），…（4分）
所以T=π…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得f（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（7分）
﹙Ⅱ﹚由f（

A

2

）=2，有f（

A

2

）=2sin（A+

π

6

）=2，
所以 sin(A+

π

6

)=1…（8分）
因?yàn)?＜A＜π，得A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

…（10分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得sinB=

1

2

又b＜a，B＜A，
所以B=

π

6

，所以C=

π

2

…．…（12分）
∴△ABC為直角三角形．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用及正弦定理，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與三角形形狀的判定，屬于中檔題．