Question

某公園內(nèi)有一橢圓形景觀(guān)水池，經(jīng)測(cè)量知，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20米，短軸長(zhǎng)為16米，現(xiàn)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)為軸，短軸所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

（1）為增加景觀(guān)效果，擬在水池內(nèi)選定兩點(diǎn)安裝水霧噴射口，要求橢圓上各點(diǎn)到這兩點(diǎn)距離之和都相等，請(qǐng)指出水霧噴射口的位置（用坐標(biāo)表示），并求橢圓的方程。

（2）為了增加水池的觀(guān)賞性，擬劃出一個(gè)以橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A、短軸頂點(diǎn)B及橢圓上某點(diǎn)M構(gòu)成的三角形區(qū)域進(jìn)行夜景燈光布置，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，使此三角形區(qū)域面積最大。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為            4分

（2）當(dāng)選擇在點(diǎn)（，）安裝景觀(guān)燈時(shí)，三角形區(qū)域面積最大  

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．

（I）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，則2a=20，2b=16，由橢圓定義知水霧噴射口的位置，并可得橢圓的方程；

（Ⅱ）記點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為d，過(guò)點(diǎn)M與AB平行的直線(xiàn)為l，則S_△ABM= 要使△ABM的面積最大，則只需d最大，即l與AB這兩平行線(xiàn)間的距離最大，設(shè)出方程代入橢圓方程即可求解．