Question

2．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）將曲線C₁方程，將曲線C₂極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）曲線C₁，C₂是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．∴曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）曲線C₂的直角坐標方程：x²+y²=2x+6y，配方為：（x-1）²+（y-3）²=10．可得C₂（1，3），半徑r=$\sqrt{10}$．曲線C₁的平方關(guān)系：（x+2）²+y²=10，可得圓心C₁（-2，0），半徑R=$\sqrt{10}$．求出|C₁C₂|即可判斷出位置關(guān)系，利用勾股定理即可得出公共弦長．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得：（x+2）²+y²=10．
∴曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
化為直角坐標方程：x²+y²=2x+6y．
（2）曲線C₂的直角坐標方程：x²+y²=2x+6y，配方為：（x-1）²+（y-3）²=10．
C₂（1，3），半徑r=$\sqrt{10}$．
曲線C₁的平方關(guān)系：（x+2）²+y²=10，可得圓心C₁（-2，0），半徑R=$\sqrt{10}$．
|C₁C₂|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$∈（0，2$\sqrt{10}$）．
∴兩圓相交．
設(shè)相交弦長為d，則$（\fracekcmau8{2}）^{2}$+$（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}$=10，解得d=$\sqrt{22}$．
∴公共弦長為$\sqrt{22}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、兩圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．