Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=8時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=8代入函數(shù)f（x）=（x-1）²-aln|x-1|，得f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），求出f′（x），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由題意f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），然后求出，然后分類討論①a＜0；②a＞0；從而得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]上的最小值．
解答：解：（Ⅰ）
（1）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，3）．
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）當(dāng)x∈[e+1，e²+1]時(shí)，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，有△＜0，此時(shí)g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得或（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得．
①若，即a≥2e⁴時(shí)，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²+1）=e⁴-2a．
②若，即2e²＜a＜2e⁴時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．
③若，即0＜a≤2e²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a．
綜上所述，當(dāng)a＜0或0＜a≤2e²時(shí)，f（x）_min=f（e+1）=e²-a；
當(dāng)2e²＜a＜2e⁴時(shí)，；
當(dāng)a≥2e⁴時(shí)，f（x）_min=e⁴-2a．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學(xué)生會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限的思想來解決問題．