Question

設(shè)A，B兩城相距100km，在兩城市之間距A城xkm處的D處建一個發(fā)電廠給A，B兩城市供電．為了城市環(huán)保，發(fā)電廠與城市的距離不得小于40km，已知供電費(fèi)用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億度）之積成正比，比例系數(shù)λ=0.9．若A城的供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．
（1）將月供電總費(fèi)用y（元）表示成x（km）的函數(shù)，并求其定義域；
（2）發(fā)電廠建在距A城多遠(yuǎn)處，才能使供電費(fèi)用最少？并求出供電費(fèi)用的最小值．

Answer 1

解：（1）∵發(fā)電廠與城市的距離不得小于40km，又∵A，B兩城相距100km，
∴x的取值范圍為40≤x≤60；
∵供電費(fèi)用（元）與供電距離（km）的平方和供電量（億度）之積成正比，比例系數(shù)λ=0.9，
又∵A城的供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月
∴y=0.9×20×x²+0.9×10×（100-x）²
化簡得：y=27x²-1800x+90000（40≤x≤60）；
（2）由y=27x²-1800x+90000=27+60000．
因?yàn)閷ΨQ軸x=不在定義域內(nèi)
則二次函數(shù)在[40，60]上單調(diào)遞增
所以當(dāng)x=40米時，y最�。�
答：故當(dāng)發(fā)電站建在距A城40千米時，才能使供電總費(fèi)用最小，最小值為61200元．
分析：（1）由已知中發(fā)電廠與城市的距離不得小于40km，A、B兩座城市相距100km，我們易求出求x的范圍，由已知中供電費(fèi)用與“供電距離的平方與供電量之積”成正比，比例系數(shù)k=0.9，若A城市供電量為20億度/月，B城市為10億度/月，結(jié)合x的取值范圍，即可得到月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；
（2）由（1）所得的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，先進(jìn)行配方，開口向上，對稱軸為不在定義域內(nèi)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)x=40米時，y最小．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中在利用函數(shù)數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問題時，定義域（自變量x的取值范圍）是易忽略而致錯的點(diǎn)．