Question

在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：

2

ρcos（θ+

π

4

）=1，設(shè)C₁與極軸的交點(diǎn)為P．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C₂的參數(shù)方程為

x= 2 cosϕ y=sinϕ

（ϕ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，并把曲線C₂化成普通方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線l過點(diǎn)P，且與曲線C₂交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）首先把曲線C₁的極坐標(biāo)方程

2

ρcos（θ+

π

4

）=1化為普通方程，令y=0，可得x=1，求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；然后根據(jù)消去參數(shù)ϕ，把曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程即可；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，求出x₁+x₂以及x₁x₂的值，進(jìn)而求出

1

|PA|

+

1

|PB|

的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）把曲線C₁的極坐標(biāo)方程

2

ρcos（θ+

π

4

）=1化為普通方程，
可得x-y-1=0，
令y=0，可得x=1，
即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，0）；
曲線C₂的參數(shù)方程為

x= 2 cosϕ y=sinϕ

（ϕ為參數(shù)），
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去φ，
可得C₂的普通方程為：

x2

2

+y2=1…①；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x-1）…②，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
②代入①，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，x1，x2∈[-

2

，

2

]，
所以

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

(x1-1)2+1- x12 2

+

1

(x2-1)2+ x22 2

=

2

2-x1

+

2

2-x2

=

2•

4-(x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2

•

4- 4k2 2k2+1

4- 8k2 2k2+1 + 2k2-2 2k2+1

=

2

•

4k2+4

2k2+2

=2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．