Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA₁的中點．
（1）求證：平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）若四面體D₁-ABE的體積V=1，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析：（1）設平面BD₁E∩CC₁=F，連接BF，由已知中ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，我們結(jié)合直四棱柱的幾何特征得到△D₁A₁E≌△BCF，連接A₁C₁、B₁D₁，可以得到AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁，進而由線面垂直的判定定理得到EF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質(zhì)，可得平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）因為AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁是棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高，我們求出三角形ABE的面積，結(jié)合四面體D₁-ABE的體積V=1，我們易求出AA₁的值，即棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

解答：解：（1）設平面BD₁E∩CC₁=F，連接BF，則△D₁A₁E與△BCF的對應邊互相平行（1分），
且A₁D₁=BC，所以△D₁A₁E≌△BCF（2分），
F是CC₁的中點（3分），
連接A₁C₁、B₁D₁，因為AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁（4分），
ABCD是菱形，A₁C₁⊥B₁D₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁，所以A₁C₁⊥面BB₁D₁D（5分），
因為E、F分別是AA₁、CC₁的中點，所以A₁EFC₁是矩形，EF∥A₁C₁，所以EF⊥平面BB₁D₁D（6分），
EF?平面BD₁E（即平面BFD₁E），所以，面BD₁E⊥面BB₁D₁D（7分）．
（2）因為AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁是棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高（8分），
AA₁?平面ABB₁A₁，平面ABB₁A₁⊥底面ABCD（9分），
在底面A₁B₁C₁D₁上作D₁F⊥A₁B₁，垂足為F，面ABB₁A₁∩面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，所以D₁F⊥面ABB₁A₁（10分），
所以V=

1

3

×S△ABE×D1F（11分），
其中S△ABE=

1

2

×AE×AB=AE=

1

2

AA1，D1F=A1D1×sin60o=

3

（12分），
所以V=

1

3

×

1

2

AA 1×

3

=1（13分），
解得AA 1=2

3

，即棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為2

3

（14分）．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，熟練掌握棱柱的幾何特征，結(jié)合已知條件找出證明線面垂直及面面垂直的條件是解答本題的關(guān)鍵．