Question

如圖，一個(gè)圓形游戲轉(zhuǎn)盤被分成6個(gè)均勻的扇形區(qū)域．用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分?jǐn)?shù)（箭頭指向兩個(gè)區(qū)域的邊界時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)），且箭頭A指向每個(gè)區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎(jiǎng)的活動(dòng)中，要求每個(gè)家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉(zhuǎn)動(dòng)一次游戲轉(zhuǎn)盤，得分情況記為（a，b）（假設(shè)兒童和成人的得分互不影響，且每個(gè)家庭只能參加一次活動(dòng)）．
（Ⅰ）求某個(gè)家庭得分為（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戲規(guī)定：一個(gè)家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎(jiǎng)品．請(qǐng)問某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率為多少？
（Ⅲ）若共有5個(gè)家庭參加家庭抽獎(jiǎng)活動(dòng)．在（Ⅱ）的條件下，記獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）記某個(gè)家庭得分情況為（5，3）為事件A，
由幾何概型公式可得，得5分與3分的概率均為；
P（A）=×=．
所以某個(gè)家庭得分情況為（5，3）的概率為．
（Ⅱ）記某個(gè)家庭在游戲中獲獎(jiǎng)為事件B，則符合獲獎(jiǎng)條件的得分包括（5，5），（5，5），（3，5），共3類情況．
所以P（B）=×+×+×=，
所以某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率為．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率都是，而X可取的值為0、1、2、3、4、5，
P（X=0）=C₅⁰（）⁰（1-）⁵=，
P（X=1）=C₅¹（）¹（1-）⁴=，
P（X=2）=C₅²（）²（1-）³=，
P（X=3）=C₅³（）³（1-）²=，
P（X=4）=C₅⁴（）⁴（1-）¹=，
P（X=5）=C₅⁵（）⁵（1-）⁰=，
所以X分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P

所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的數(shù)學(xué)期望為．
分析：（1）記某個(gè)家庭得分情況為（5，3）為事件A，由幾何概型公式可得，得5分與3分的概率，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算可得答案；
（2）記某個(gè)家庭在游戲中獲獎(jiǎng)為事件B，分析可得獲獎(jiǎng)的得分包括（5，5），（5，5），（3，5）三種情況，由互斥事件的概率加法公式，計(jì)算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率都是，分析可得X可取的值為0、1、2、3、4、5，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算可得X取0、1、2、3、4、5時(shí)的概率，列表可得X的分步列，由期望的計(jì)算公式可得X的期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算以及隨機(jī)變量的分步列、期望的計(jì)算，計(jì)算量比較大，注意準(zhǔn)確記憶公式并正確計(jì)算．