如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E是PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大�。�
【答案】分析：（1）欲證PB∥平面AEC，關(guān)鍵是在平面AEC內(nèi)找一直線與PB平行，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，利用中位線平行即可證得；
（2）取AD中點(diǎn)L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，易證∠EKL為二面角E-AC-D的平面角，利用△AKL∽△ADC求出KL，然后在Rt△ELK中求出∠EKL．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO．
∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，
∴EO∥PB．（3分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．（6分）
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，
∵L為AD中點(diǎn)，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK為EK在平面ABCD內(nèi)的射影．
又LK⊥AC，
∴EK⊥AC，
∴∠EKL為二面角E-AC-D的平面角．（10分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC．
∴，設(shè)正方形邊長為2，，
∴．（12分）
在Rt△ELK中，，
∴二面角E-AC-D的大小為．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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