Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，其圖象均在x軸的上方，對任意的m、n∈[0，+∞），都有f（m•n）=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4，又當(dāng)x≥0時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）求F（0）、f（-1）的值；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式：[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2，其中k∈（-1，1）．

Answer 1

分析：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ，恒成立，令m=n=0，結(jié)合我們易得函數(shù)y=f（x）的圖象均在x軸的上方，故f（0）＞0易得f（0）的值，令m=1，n=2，結(jié)合f（2）=4，易得f（1）的值，結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，可得到f（-1）的值；
（2）由y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在（-∞，0]為單調(diào)遞減函數(shù)，故[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2可轉(zhuǎn)化為（k²-1）x²+4kx≥0對k值進(jìn)行分類討論后，易得結(jié)論．

解答：解：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ得：f（0）=f（0×0）=[f（0）]⁰
∵函數(shù)f（x）的圖象均在x軸的上方，
∴f（0）＞0，∴f（0）=1（3分）
∵f（2）=f（1×2）=[f（1）]²=4，又f（x）＞0
∴f（1）=2，f（-1）=f（1）=2（3分）
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2?f(

kx+2

2 x2+4

•2)≥2?f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)?f(

|kx+2|

x2+4

)≥f(1)
又當(dāng)x≥0時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0恒成立，
∴y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)
∴

|kx+2|

x2+4

≥1?|kx+2|≥

x2+4

?(k2-1)x2+4kx≥0
①當(dāng)k=0時(shí)，x∈{0}；
②當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，x(x-

4k

1-k2

)≤0?

4k

1-k2

≤x≤0，
∴x∈[

4k

1-k2

，0]；
③當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x(x-

4k

1-k2

)≤0?0≤x≤

4k

1-k2

，
∴x∈[0，

4k

1-k2

]
綜上所述：當(dāng)k=0時(shí)，x∈{0}；當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，x∈[

4k

1-k2

，0]；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x∈[0，

4k

1-k2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用“湊”的方法處理抽象函數(shù)問題求值是解答本題的關(guān)鍵．