Question

設(shè)有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進(jìn)方向，沿著與村落周界相切的直線前進(jìn)，后來恰與B相遇．設(shè)A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，問兩人在何處相遇？

Answer 1

分析：先根據(jù)題意，以村落中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東的方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩人的速度關(guān)系設(shè)其速度及各點(diǎn)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用圖形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直線的斜率公式可得直線的斜率，再利用直線與圓相切即可的直線方程，也就得到了該問題的解．

解答：解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/小時，
v千米/小時，再設(shè)出發(fā)x₀小時，在點(diǎn)P改變方向，又經(jīng)過y₀小時，在點(diǎn)Q處與B相遇．
則P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
將①代入kPQ=-

x0+y0

3x0

，得kPQ=-

3

4

．
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置．
設(shè)直線y=-

3

4

x+b與圓O：x²+y²=9相切，
則有

|4b|

32+42

=3，b=

15

4

答：A、B相遇點(diǎn)在離村中心正北3

3

4

千米處．

點(diǎn)評：本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，在這個題中注意解決實(shí)際問題的基本步驟，及題目條件的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，是個中檔題．