Question

5．定義：已知函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質(zhì)．例如函數(shù)$y=\sqrt{x}$在[1，9]上就具有“DK”性質(zhì)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x²-2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性質(zhì)？說明理由；
（2）若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)新定義進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，對(duì)其進(jìn)行討論，根據(jù)新定義求解．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x+2，x∈[1，2]，
對(duì)稱軸x=1，開口向上．
當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值為f（1）=1，
∴f（x）_min=f（1）=1≤1，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上具有“DK”性質(zhì)．
（2）g（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其圖象的對(duì)稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$．
①當(dāng)$\frac{a}{2}≥0$，即a≥0時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（a）={a^2}-{a^2}+2=2$．
若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有2≤a總成立，即a≥2．
②當(dāng)$a＜\frac{a}{2}＜a+1$，即-2＜a＜0時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}+2$．
若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有$-\frac{a^2}{4}+2≤a$總成立，解得a無解．
③當(dāng)$\frac{a}{2}≥a+1$，即a≤-2時(shí)，g（x）_min=g（a+1）=a+3．
若函數(shù)g（x）具有“DK”性質(zhì)，則有a+3≤a，解得a無解．
綜上所述，若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質(zhì)，則a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解和運(yùn)用與二次函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)合討論最小值的問題．屬于中檔題．