例2：若等比數(shù)列{an}的前n項之和為A，前n項之積為B，各項倒數(shù)的和為C，求證：B2=
AnCn
．
分析：先設(shè)此等比數(shù)列的首項為a1，公比為q．分當(dāng)q=1和q≠1時，用a1分別表示出S，C和B，進(jìn)而得證B2=
An
Cn
．
解答：解：設(shè)此等比數(shù)列的首項為a1，公比為q
若q=1，則S=na1，C=
n
a1
，B=a1n，所以B2=a12n，
An
Cn
=a12n所以左邊等于右邊
若q≠1，則S=
a1(qn-1)
q-1
，C=
(1-
1
q
n)
a1(1-
1
q
)
=
qn
a1[qn-qn-1-1]
，B=a1nq[n（n-1）/2]
所以
An
Cn
=[a12qn-1]n=a12nq[n（n-1）]
B2=a12nq[n（n-1）]
所以B2=
An
Cn
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北 題型：解答題

已知數(shù)列{ax}和{bx}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bx=
a1aa+1
(n∈N*)．且{bx}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a3n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（第6章 數(shù)列）：6.4 等差數(shù)列、等比數(shù)列（三）（解析版） 題型：解答題

例2：若等比數(shù)列{an}的前n項之和為A，前n項之積為B，各項倒數(shù)的和為C，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{ax}和{bx}滿足：．且{bx}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：…．

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